문제

$0 < t < \tfrac{\pi}{6}$인 실수 $t$에 대하여, 곡선 $y = \sin 2x$ 위의 점 $P(t,\ \sin 2t)$를 지나고 원점 $O$를 중심으로 하는 원이 곡선 $y = \sin 2x$와 다시 만나는 점을 $Q$, 이 원이 양의 $x$축과 만나는 점을 $R$라 하자. 곡선 $y = \sin 2x$와 두 선분 $PR$, $QR$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S(t)$라 할 때,

이다. $k^2$의 값을 구하시오.

이 문제에서 볼 것

경계에 곡선이 들어 있는 넓이를 보면 반사적으로 적분을 세우고 싶어진다. 그런데 이 문제의 영역은 적분 한 번 없이 삼각형 하나로 바뀐다. 그 과정을 단계별로 따라가 보자.

처음 보면

원점 $O$를 중심으로 점 $P(t,\ \sin 2t)$를 지나는 원을 그리면, 원이 $x$축과 만나는 점이 $R$이다. 곡선과 두 선분 $PR,\ QR$로 둘러싸인 어두운 영역이 우리가 구할 $S(t)$.

경계에 곡선이 들어 있으니, 처음에는 적분을 해야 할 것처럼 보인다.

대칭점 Q

$y=\sin 2x$는 홀함수라 원점에 대해 대칭이다. 그래서 $P(t,\ \sin 2t)$의 원점 대칭점 $Q(-t,\ -\sin 2t)$도 같은 곡선 위에 있고, 원과 곡선이 다시 만나는 점이 바로 이 $Q$다.

tick 표시처럼 $OP = OQ$이다. 즉 $O$는 $P$와 $Q$의 한가운데에 있다.

선분 PQ

$P$와 $Q$를 곧게 이어 보자. 선분 $PQ$는 원점을 지나고, 삼각형 $PQR$의 윤곽이 나타난다.

곡선 경계를 이 직선으로 바꿀 수 있다면 넓이는 그냥 삼각형이 된다. 문제는 — 바꿔도 되는가?

넓이 상쇄

곡선과 선분 $PQ$ 사이의 두 조각을 보자. 오른쪽 점무늬 조각은 곡선이 직선 위로 올라가며 삼각형에 없던 넓이를 더하는 부분($+A$), 왼쪽 빗금 조각은 곡선이 직선 아래로 내려가며 삼각형에서 빠지는 부분($-A$)이다.

곡선도 선분 $PQ$도 모두 원점 대칭이므로 두 조각은 정확히 같은 모양 — 더해지는 넓이와 빠지는 넓이가 완전히 상쇄된다.

삼각형만 남는다

그래서 적분 없이, 곡선 경계를 직선으로 바꾼 순간

— 곡선으로 둘러싸였던 넓이가 삼각형 하나의 넓이로 바뀐다. 이것이 이 문제의 핵심 발상이다.

반으로 가르면

$O$는 $PQ$의 중점이므로, 선분 $OR$은 삼각형 $PQR$을 넓이가 같은 두 삼각형으로 가른다.

이제 밑변이 $x$축 위에 놓인 삼각형 $POR$ 하나만 계산하면 된다.

밑변과 높이 읽기

남은 일은 삼각형 $POR$의 밑변과 높이를 그림에서 읽는 것뿐이다.

• 밑변 $OR$: $R$는 원 위의 점이므로 $OR$는 원의 반지름. 즉 $\overline{OR} = \overline{OP} = \sqrt{t^2 + \sin^2 2t}$
• 높이: 꼭짓점 $P(t,\ \sin 2t)$에서 $x$축 위의 밑변까지의 거리, 곧 $\sin 2t$

삼각형의 넓이

왼쪽 무대가 수식으로 바뀌었다 — 여기서부터는 식이 어떻게 변하는가가 그림이다.

밑변과 높이를 $2 \cdot \tfrac12 \cdot \text{밑변} \cdot \text{높이}$에 넣으면 $2$와 $\tfrac12$이 지워지고 ①의 곱 하나만 남는다.

t²로 나누고 극한

구하는 극한이 $S(t)/t^2$이므로, $t^2$을 근호 안에는 $t^2$로, 근호 밖에는 $t$로 나눠 넣는다(②). 그러면 식 전체가 $\frac{\sin 2t}{t}$ 덩어리 하나로 정리된다 — 우리가 극한을 이미 아는 바로 그 꼴이다.

$\frac{\sin 2t}{t} = 2\cdot\frac{\sin 2t}{2t} \to 2\cdot 1 = 2$이므로 ③처럼 $k = 2\sqrt{5}$.

차수로 다시 보면

$t \to 0$에서 $\sin 2t \sim 2t$이므로, 계산 전체를 차수 하나로 요약할 수 있다.

밑변이 $t$의 1차, 높이도 1차 — 그래서 넓이는 정확히 2차로 작아지고,

$S(t)/t^2$이 유한한 극한 $2\sqrt5$를 갖는 이유가 이 차수 구조다.

답

적분 대신 대칭 하나로 영역을 삼각형으로 바꾸고, 그 삼각형의 밑변과 높이를 읽었다. $k = 2\sqrt5$이므로