연속성이 절댓값 안쪽의 차수를 올린다

f(x)=x^3-3x^2-9x-12

, 연속함수

g

가

xg(x)=\bigl|x\underbrace{\{f(x-p)+q\}}_{F(x)}\bigr|

g

의 미분 불가능점이 1개일 때

p+q

(p, q > 0)

F(0)=0

g=x\,|Q(x)|

F'(0)=0

p=1

q=7

p+q=8

두 양수 $p,q$ 가 함수 $f(x)=x^3-3x^2-9x-12$ 에 대하여, 실수 전체에서 연속인 함수 $g(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때 $p+q$ 의 값을 구하시오. [4점]

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $xg(x)=|xf(x-p)+qx|$ 이다.

(나) 함수 $g(x)$ 가 $x=\alpha$ 에서 미분가능하지 않은 실수 $\alpha$ 의 개수는 1이다.

① 6　② 7　③ 8　④ 9　⑤ 10

↓ 넘기며 보기

(가)는 $g$ 가 아니라 $xg(x)$ 를 알려 줍니다. $g$ 가 연속이면 $xg(x)$ 는 원점에서 미분가능합니다.

\lim_{x\to0}\frac{xg(x)-0}{x}=\lim_{x\to0}g(x)=g(0)

그런데 $F(0)\ne0$ 이면 $|xF(x)|$ 는 원점에서 $|x|$ 처럼 꺾입니다. 그러니 $F(0)=0$ .

F(0)=f(-p)+q=0

$F$ 가 $x$ 를 인수로 가지니 $F(x)=xQ(x)$ 로 쓰면, $g$ 가 드러납니다.

xg(x)=x^2|Q(x)|\ \Rightarrow\ g(x)=x\,|Q(x)|

막힘

이제 $g$ 는 이차식 $Q$ 의 0 아닌 단순근에서 꺾입니다. 서로 다른 두 근이면 뾰족점이 둘 — 하나만 남기려면?

근이 없거나 중근이면 뾰족점은 0개입니다.

한 근을 $0$ 에 겹칩니다. 원점에서는 $x|x|$ 꼴이라 매끈하고, 남은 근 하나만 꺾입니다.

Q(0)=0\ \Rightarrow\ F'(0)=f'(-p)=0

$F(0)=0$ , $F'(0)=0$ — $f$ 를 옮긴 그래프가 원점에 접해야 하니, $f$ 의 극점 하나를 원점으로 옮기는 일입니다.

f'(x)=3(x+1)(x-3)

$p>0$ 이니 $-p<0$ , 옮길 점은 극대점 $(-1,-7)$ 입니다.

-p=-1\ \Rightarrow\ p=1

오른쪽으로 $1$ , 위로 $7$ 옮기면 극대점이 원점에 닿습니다.

q=-f(-1)=7

확인

실제로 $F(x)=x^2(x-6)$ 이라 $g(x)=x|x||x-6|$ : 원점에서는 매끈하고 $6$ 에서만 꺾입니다.

$p+q=1+7$ $8$ ③

$xg(x)=|H(x)|$ 와 연속인 $g$ 를 보면: 먼저 원점에서 $H$ 의 차수를 올린다.