같은 높이 → 교점 선택 → 꼭짓점 통과

연속함수

f

가

\underbrace{f^2+2f}_{q(f(x))}=\underbrace{a\cos^3(\pi x)e^{\sin^2(\pi x)}+b}_{R(x)}

f(0)=f(2)+1

a>0

일 때

ab

f(0)>-1>f(2)

b-a=-1

f(0)=-\tfrac12,\ f(2)=-\tfrac32

a+b=-\tfrac34

a=\tfrac18,\ b=-\tfrac78

ab=-\tfrac7{64}

x = 0.00 → f(x) = −0.50

두 상수 $a\,(a>0),\ b$ 에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $a\times b$ 의 값은? [4점]

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여

\{f(x)\}^2+2f(x)=a\cos^3(\pi x)\,e^{\sin^2(\pi x)}+b

(나) $f(0)=f(2)+1$

① $-\frac1{16}$ ② $-\frac7{64}$ ③ $-\frac5{32}$ ④ $-\frac{13}{64}$ ⑤ $-\frac14$

↓ 넘기며 보기

막힘

구할 $f$ 가 $q(t)=t^2+2t$ 안에 갇혀 있어서, 식을 풀어 꺼낼 수가 없습니다.

q\bigl(f(x)\bigr)=R(x)

그래서 거꾸로 읽습니다. $x$ 하나가 높이 R(x)를 보내면, 그 높이에서 포물선과 만나는 점의 가로좌표가 $f(x)$ 입니다.

교점이 둘이면 후보도 둘입니다.

$R$ 은 $x=0,\ 2$ 에서 가장 높고 $x=1$ 에서 가장 낮습니다.

R(0)=R(2)=a+b,\qquad R(1)=b-a

$R'(x)=a\pi\cos^2(\pi x)e^{\sin^2(\pi x)}\sin(\pi x)\,(2\cos^2(\pi x)-3)$ — 부호는 $-\sin(\pi x)$ 를 따라갑니다.

$x=0$ 과 $x=2$ 는 같은 높이를 보내는데 $f(0)=f(2)+1$ 이니, 두 교점 중 서로 다른 쪽을 골랐습니다.

q(t)=(t+1)^2-1\ \Rightarrow\ f(0)>-1>f(2)

막힘

연속인 $f$ 는 오른쪽 가지에서 왼쪽 가지로 넘어가야 합니다. 두 가지가 닿는 곳은 꼭짓점 하나뿐인데, 빔이 거기까지 내려올까요?

빔이 끝까지 $-1$ 보다 높으면, 두 교점은 끝내 떨어져 있어 넘어갈 수 없습니다.

연속인 $f$ 는 어떤 $c$ 에서 $-1$ 을 지나야 하고, 그러면 $R(c)=q(-1)=-1$ 이어야 합니다.

반대로 $-1$ 보다 낮으면, $x=1$ 이 보내는 높이에는 교점이 없어 $f(1)$ 을 정할 수 없습니다.

그래서 가장 낮은 높이는 정확히 $-1$ . 빔이 꼭짓점에 닿는 그 자리에서 가지를 갈아탑니다.

b-a=-1,\qquad f(1)=-1

$f(0)$ 과 $f(2)$ 는 축 $t=-1$ 을 사이에 두고 마주 보는데 간격이 $1$ 이니, 축에서 $\tfrac12$ 씩 떨어져 있습니다.

f(0)=-\frac12,\qquad f(2)=-\frac32

식이 아직 하나뿐이니 반대로 갑니다. 읽은 값을 포물선에 넣으면 $x=0$ 이 보내던 높이가 나옵니다.

a+b=q\!\left(-\tfrac12\right)=\tfrac14-1=-\tfrac34

두 식을 더하면 $b$ , 다시 넣으면 $a$ 가 나옵니다.

a+b=-\tfrac34,\ \ b-a=-1\ \Rightarrow\ a=\tfrac18,\ \ b=-\tfrac78

확인

$x$ 를 $0$ 에서 $2$ 로 밀면, 고른 점이 꼭짓점을 지나 반대쪽 가지로 끊김 없이 넘어갑니다.

$ab=\tfrac18\cdot\left(-\tfrac78\right)$ $-\tfrac{7}{64}$ ②

안쪽 함수가 갇혀 있으면: 입력을 고정하고, 우변이 보내는 높이에서 모든 교점부터 찾는다.