같은 기울기와 함수의 최솟값 — Interactive Mathematics Notes

최고차 1인 삼차

f

, 연속

g

f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))

\min g=\tfrac52

f(0)=-3

f(g(1))=6

f(4)

f'(g(x))=P(x)

g(1)=-1-\tfrac{2a}3

g>-\tfrac a3

a=-6

b=12

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f$ 와 실수 전체에서 연속인 함수 $g$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 $x$ 에 대하여 $f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))$

(나) 함수 $g$ 의 최솟값은 $\frac52$ 이다.

(다) $f(0)=-3$ , $f(g(1))=6$

$f(4)$ 의 값은?

↓ 넘기며 보기

$g$ 는 $f'$ 속에만 있습니다. $f(1)$ 을 넘기고 $x-1$ 로 나누면 $g$ 가 든 쪽만 남습니다.

f'(g(x))=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\qquad(x\ne1)

$f(x)=x^3+ax^2+bx-3$ 이면 $x-1$ 이 약분되어 이차식이 남습니다. 이름을 $P$ 라 합니다.

f'(g(x))=P(x)=x^2+(a+1)x+a+b+1

그러니 $g(x)$ 는 $f'$ 그래프에서 높이 $P(x)$ 를 내는 가로좌표. 수평선을 그으면 후보가 둘입니다.

그림은 $a$ , $b$ 와 무관한 모양만 그렸다

막힘

조건 $f(g(1))=6$ 을 쓰려면 $g(1)$ 이 필요한데, $x-1$ 로 나눴으니 $x=1$ 은 넣을 수 없습니다.

대신 $x\to1$ . $P$ , $g$ , $f'$ 이 모두 연속이라 식이 그대로 이어지고, $1$ 도 같은 높이를 냅니다.

f'(g(1))=P(1)=3+2a+b=f'(1)

$g(1)\ge\tfrac52>1$ 이니 둘은 서로 다른 점. 같은 높이의 두 점 한가운데가 포물선의 축입니다.

\frac{1+g(1)}2=-\frac a3\ \Rightarrow\ g(1)=-1-\frac{2a}3,\quad a<-3

막힘

다른 $x$ 에서는 두 후보 중 어느 쪽일까요? 두 바닥을 비교하면 수평선은 꼭짓점까지 내려가지 못합니다.

\min P-\min f'=\frac{(a+3)^2}{12}>0

연속인 $g$ 가 반대쪽으로 가려면 축을 지나야 하는데 그 높이는 못 냅니다. $g(1)$ 이 오른쪽이니 늘 오른쪽 가지.

g(x)>-\frac a3\qquad(\text{모든 }x)

오른쪽 가지에선 낮을수록 가로좌표가 작습니다. 그래서 $g$ 의 최솟값 $\tfrac52$ 는 $P$ 의 바닥에서 나옵니다.

a+b+1-\frac{(a+1)^2}{4}=f'\!\left(\tfrac52\right)=\frac{75}4+5a+b

$b$ 가 지워져 $(a+6)(a+12)=0$ . $\tfrac52$ 는 축보다 오른쪽이어야 하니 $a=-6$ .

a=-12:\ \text{축 }4>\tfrac52\ (\times)\qquad a=-6:\ \text{축 }2<\tfrac52

이제 $g(1)$ 이 나오고, 조건 $f(g(1))=6$ 은 $f(3)=6$ 이 됩니다.

g(1)=-1+4=3,\qquad 27-54+3b-3=6\ \Rightarrow\ b=12

$f(4)=64-96+48-3$ $13$

함수 안의 함수를 모르면, 바깥 함수의 같은 높이에서 가로좌표를 되읽는다.