Interactive Mathematics Notes
곡선 y=sin⁡2xy=\sin 2x, 원점 중심 원 위의 P(t,sin⁡2t)P(t,\sin 2t)·QQ·RR. 곡선과 PRPR, QRQR로 둘러싸인 넓이 S(t)S(t)에 대해 lim⁡t→0+S(t)t2=k\lim_{t\to0+}\frac{S(t)}{t^2}=k일 때 k2k^2
S(t)S(t) =△PQR=\triangle PQR =2 △POR=2\,\triangle POR =t2+sin⁡22t sin⁡2t=\sqrt{t^2+\sin^2 2t}\,\sin 2t ≈25 t2\approx 2\sqrt5\,t^2
x y +A −A y = sin 2x OR = r sin 2t O P Q R

0<t<π60 < t < \tfrac{\pi}{6}인 실수 tt에 대하여, 곡선 y=sin⁡2xy = \sin 2x 위의 점 P(t, sin⁡2t)P(t,\ \sin 2t)를 지나고 원점 OO를 중심으로 하는 원이 곡선 y=sin⁡2xy = \sin 2x와 다시 만나는 점을 QQ, 이 원이 양의 xx축과 만나는 점을 RR라 하자. 곡선 y=sin⁡2xy = \sin 2x와 두 선분 PRPR, QRQR로 둘러싸인 부분의 넓이를 S(t)S(t)라 할 때,

lim⁡t→0+S(t)t2=k\lim_{t \to 0+} \frac{S(t)}{t^2} = k

이다. k2k^2의 값을 구하시오. [4점]

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처음 보면

구할 넓이 S(t)S(t)는 경계에 곡선이 끼어 있어서, 적분해야 할 것처럼 보입니다.

y=sin⁡2xy=\sin 2x는 원점대칭이라, PP를 원점에 대해 뒤집은 Q도 곡선 위, 같은 원 위에 있습니다.

그래서 OP=OQOP=OQ — OO는 PQPQ의 중점입니다.

막힘

곡선 대신 선분 PQPQ로 막으면 영역은 삼각형 PQRPQR이 됩니다. 그런데 바꿔도 될까요?

됩니다. 오른쪽에서 더해지는 +A와 왼쪽에서 빠지는 −A가 원점대칭인 같은 모양이라 정확히 지워집니다.

그래서 적분 없이, 넓이는 삼각형 하나입니다.

S(t)=[△PQR]S(t) = \bigl[\triangle PQR\bigr]

OO가 PQPQ의 중점이라, OROR이 삼각형을 넓이가 같은 둘로 가릅니다.

[△PQR]=2 [△POR]\bigl[\triangle PQR\bigr] = 2\,\bigl[\triangle POR\bigr]

삼각형 PORPOR의 밑변 OR은 원의 반지름, 높이는 PP의 yy좌표 sin 2t입니다.

S(t)=2⋅12⋅t2+sin⁡22t⋅sin⁡2tS(t) = 2\cdot\tfrac12\cdot\sqrt{t^2+\sin^2 2t}\cdot\sin 2t
크기 가늠

tt가 작으면 sin⁡2t≈2t\sin 2t\approx 2t라서 밑변도 높이도 tt에 비례하고, 넓이는 t2t^2에 비례합니다.

S(t)≈t2+(2t)2⋅2t=5 t⋅2t=25 t2S(t)\approx \sqrt{t^2+(2t)^2}\cdot 2t = \sqrt5\,t\cdot 2t = 2\sqrt5\,t^2

정확히는 t2t^2으로 나누면 식 전체가 sin⁡2tt\frac{\sin 2t}{t} 하나로 정리되고, 그 값은 22로 갑니다.

S(t)t2=1+(sin⁡2tt)2⋅sin⁡2tt  ⟶  1+22⋅2=25\frac{S(t)}{t^2} = \sqrt{1+\Bigl(\frac{\sin 2t}{t}\Bigr)^2}\cdot\frac{\sin 2t}{t}\;\longrightarrow\;\sqrt{1+2^2}\cdot 2 = 2\sqrt5

k=25k=2\sqrt5 k2=20k^2 = 20

원점대칭인 두 경계 사이는, 곡선을 직선으로 바꿔도 넓이가 그대로다.

다음 해설 연속성이 절댓값 안쪽의 차수를 올린다 계속 →