처음 맞는 자리에서 거꾸로 간다 — Interactive Mathematics Notes

홀수면

a_n-3

, 짝수·0이면

\tfrac12a_n

|a_m|=|a_{m+2}|

인

m

의 최솟값이

3

일 때

|a_1|

의 합

a_3\in E=\{-6,-3,0,1,2\}

a_2\in\{-12,3,4,5\}

a_1\in\{-24,-9,6,7,8,10\}

모든 항이 정수인 수열 $\{a_n\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 규칙을 만족한다.

a_{n+1}=\begin{cases}a_n-3 & (|a_n|\text{이 홀수})\\ \frac12a_n & (a_n=0\text{ 또는 }|a_n|\text{이 짝수})\end{cases}

$|a_m|=|a_{m+2}|$ 인 자연수 $m$ 의 최솟값이 $3$ 일 때, 가능한 모든 수열에 대한 $|a_1|$ 의 값의 합을 구하여라.

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규칙은 홀수면 $-3$ , 짝수면 절반. $7$ 에서 시작하면 이렇게 움직입니다.

7\to4\to2\to1\to-2

두 칸 떨어진 수를 비교하면 세 번째에서 처음 절댓값이 같습니다. 이 “처음이 3”이 조건입니다.

|a_1|\ne|a_3|,\quad |a_2|\ne|a_4|,\quad |a_3|=|a_5|

앞으로 굴리면 끝이 없으니 거꾸로 갑니다. 먼저 두 칸 뒤 절댓값이 돌아오는 $a_3$ — 홀수라면 $-3$ , $1$ 뿐입니다.

x\to x-3\to\tfrac{x-3}{2}:\quad |2x|=|x-3|\ \Rightarrow\ x=-3,\ 1

짝수·0이라면 $-6$ , $0$ , $2$ . 합쳐서 돌아오는 수는 이 다섯이 전부입니다.

E=\{-6,-3,0,1,2\}

$y=x/2$ 가 홀수면 $|2y|=|y-3|$ , 짝수·0이면 $|2y|=|y/2|$

한 칸 거꾸로: $z$ 바로 앞은 $2z$ , 그리고 $z$ 가 짝수면 $z+3$ 도 됩니다.

걸러내기

그런데 $a_2$ 가 $E$ 에 있으면 $m=2$ 에서 먼저 맞아 버립니다. 지웁니다.

a_2\in\{-12,\ 3,\ 4,\ 5\}

한 번 더 거꾸로. 여섯 값 모두 $E$ 밖이라 $m=1$ 도 막힙니다.

a_1\in\{-24,-9,6,7,8,10\}

$24+9+6+7+8+10$ $64$

“처음으로 성립”은 앞으로 굴리지 말고, 성립하는 상태에서 거꾸로 가지를 치며 너무 이른 것을 지운다.