대칭하고 두 배하면 두 곡선이 겹친다

A(a,b)\in y=\log_{16}(8x+2)

B\in y=4^{x-1}-\tfrac12

A

의

y=x

대칭점이

OB

위,

AB

중점

(\tfrac{77}{8},\tfrac{133}{8})

ab=\tfrac qp

16^b=8a+2

C=(b,a)

2C\in\text{지수곡선}

B=2C

a=\tfrac{63}{4},\ b=\tfrac74

곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위의 점 $A(a,b)$ 와 곡선 $y=4^{x-1}-\tfrac12$ 위의 점 $B$ 가 제1사분면에 있다.

점 $A$ 를 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $OB$ 위에 있고, 선분 $AB$ 의 중점이 $\left(\tfrac{77}{8},\tfrac{133}{8}\right)$ 일 때 $ab=\tfrac qp$ 이다. 서로소인 자연수 $p,q$ 에 대하여 $p+q$ 를 구하여라.

↓ 넘기며 보기

$A(a,b)$ 가 로그곡선 위에 있으니 좌표를 그대로 넣고, 지수식으로 바꿔 둡니다.

b=\log_{16}(8a+2)\iff16^b=8a+2

$y=x$ 대칭은 좌표를 맞바꿉니다. $C=(b,a)$ 가 직선 $OB$ 위이니 $B$ 는 반직선 $OC$ 위 어딘가.

B=(kb,\ ka)\quad(k>0)

막힘

$B$ 가 지수곡선 위라는 식을 세우면, 모르는 배율 $k$ 가 지수 속에 들어가 풀리지 않습니다.

4^{kb-1}-\tfrac12=ka\ \ ?

밑을 보면 $16=4^2$ . $k=2$ 를 넣으면 $16^b=8a+2$ 가 그대로 맞아떨어집니다.

4^{2b-1}-\tfrac12=\tfrac{16^b}{4}-\tfrac12=\tfrac{8a+2}{4}-\tfrac12=2a

점 하나의 우연이 아닙니다. 대칭한 로그곡선을 원점에서 두 배 하면 지수곡선과 통째로 포개집니다.

(s,t)\xrightarrow{\ y=x\ }(t,s)\xrightarrow{\ \times2\ }(2t,2s)

$B$ 와 $2C$ 는 같은 반직선, 같은 지수곡선 위. 반직선은 이 곡선을 한 번만 만나니 둘은 같은 점입니다.

B=2C=(2b,\ 2a)

아래로 볼록한 $4^{x-1}-\tfrac12-mx$ 는 $x=0$ 에서 음수라 양의 영점이 하나뿐

이제 중점 조건. 두 끝점 좌표의 합은 중점의 두 배입니다.

a+2b=\tfrac{77}{4},\qquad 2a+b=\tfrac{133}{4}

두 식을 빼면 $a-b=14$ , 다시 넣으면 좌표가 모두 닫힙니다.

b=\tfrac74,\qquad a=\tfrac{63}{4}

$ab=\tfrac{63}{4}\cdot\tfrac74=\tfrac{441}{16}$ $457$

밑이 제곱 관계(16 = 4²)이면, 대칭한 곡선을 원점에서 확대해 다른 곡선과 겹치는지 본다.

다음 해설 역함수에서 접선이 생기는 순간을 센다 계속 →