역함수에서 접선이 생기는 순간을 센다

증가 연속

f

f^{-1}

의 두 조건 ·

y=m(x-1)

과의 교점 수

g(m)

가

m=a,b

에서 불연속 ·

g(a)\lim_{m\to a+}g+g(b)(\tfrac{\ln b}{b})^2

h=f^{-1}

세 조각

P(0,1),\ \text{기울기 }\tfrac1m

g(b)=2

\tfrac{\ln b}{b}=-2

a=0:\ 1,\ 3

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f$ 의 역함수 $f^{-1}$ 이 다음 조건을 만족한다.

$4\{f^{-1}(x)\}^2=x^2(x^2-5)^2\quad(|x|\le1)$

$|f^{-1}(x)|=e^{|x|-1}+1\quad(|x|>1)$

직선 $y=m(x-1)$ 과 $y=f(x)$ 의 교점 개수를 $g(m)$ 이라 하자. $g$ 가 $m=a,\ m=b\ (a<b)$ 에서 불연속일 때,

g(a)\left(\lim_{m\to a+}g(m)\right)+g(b)\left(\frac{\ln b}{b}\right)^2

의 값을 구하여라. 단, $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ 이다.

↓ 넘기며 보기

$h=f^{-1}$ 도 증가합니다. 첫 식에 $x=0$ 을 넣으면 $h(0)=0$ , 그래서 $h(x)$ 의 부호는 $x$ 의 부호.

제곱·절댓값이 숨긴 부호를 증가 조건이 되살린다

$|x|\le1$ 에서 $5-x^2>0$ . 제곱을 풀고 부호를 $x$ 에 맞추면 한 줄이 됩니다.

2|h(x)|=|x|(5-x^2)\ \Rightarrow\ h(x)=\tfrac{x(5-x^2)}{2}

$|x|>1$ 도 부호만 붙이면 끝. 세 조각이 $(\pm1,\pm2)$ 에서 이어지는 홀함수입니다.

h(x)=e^{x-1}+1\ (x>1),\qquad h(x)=-(e^{-x-1}+1)\ (x<-1)

$f$ 의 식은 없으니 곡선과 직선을 함께 $y=x$ 대칭. 교점 수는 그대로이고, 직선은 $P(0,1)$ 에 꽂힌 기울기 $\tfrac1m$ 직선이 됩니다.

y=m(x-1)\ \longrightarrow\ y=1+\tfrac1m x\quad(m\ne0)

함정

$(1,2)$ 에서 접하거나( $\tfrac1m=1$ ) $(-1,-2)$ 를 지나도( $\tfrac1m=3$ ), 앞뒤로 돌려 개수가 안 바뀌면 불연속이 아닙니다.

직선을 돌리면 왼쪽 지수 가지에 접하는 순간 교점이 1개 → 2개 → 3개로 바뀝니다. 그때가 $m=b$ , 접하는 순간은 $g(b)=2$ .

접점 $(t,h(t))$ , $t<-1$ . $P$ 까지의 기울기가 곧 접선 기울기입니다.

\frac{h(t)-1}{t}=h'(t)=e^{-t-1}\ \Rightarrow\ (-t-1)e^{-t-1}=2

$t$ 를 풀 필요는 없습니다. 이 접선의 기울기가 $\tfrac1b$ 이니 $b$ 가 $t$ 로 읽힙니다.

\frac1b=e^{-t-1}\ \Rightarrow\ b=e^{t+1}

문제가 원하는 건 $\tfrac{\ln b}{b}$ . 접선 조건이 그대로 그 값입니다.

\frac{\ln b}{b}=(t+1)e^{-t-1}=-2

확인

대칭에서 빠진 $m=0$ . 원래 직선 $y=0$ 은 뒤집으면 $x=0$ , 원점 하나만 만납니다.

g(0)=1

$m\to0+$ 이면 직선이 거의 수직으로 서서 왼쪽 가지와 둘, 오른쪽과 하나. $1$ 과 다르니 $a=0$ .

\lim_{m\to0+}g(m)=3

$1\cdot3+2\cdot(-2)^2$ $11$

접선을 찾는 게 아니라, 직선을 앞뒤로 돌렸을 때 개수가 실제로 바뀌는 순간을 찾는다.