반지름이 같으면 마주보는 변도 같다

\overline{AB}=5,\ D\in\overline{AC},\ \overline{BD}=\sqrt{10},\ \overline{CD}=2

, △ABC와 △ABD의 외접원 반지름이 같을 때

[\triangle ABD]

\angle A=\theta\ \text{공통}

\overline{BC}=\overline{BD}=\sqrt{10}

\overline{MD}=\overline{MC}=1

\overline{BM}=3,\ \overline{AM}=4

\overline{AD}=3

$\overline{AB}=5$ 인 삼각형 $ABC$ 의 변 $AC$ 위의 점 $D$ 에 대하여 $\overline{BD}=\sqrt{10}$ , $\overline{CD}=2$ 이다. 삼각형 $ABC$ 의 외접원의 반지름의 길이와 삼각형 $ABD$ 의 외접원의 반지름의 길이가 서로 같을 때, 삼각형 $ABD$ 의 넓이는?

① $\tfrac72$ ② $4$ ③ $\tfrac92$ ④ $5$ ⑤ $\tfrac{11}{2}$

↓ 넘기며 보기

그림이 없으니 먼저 그립니다. 구할 건 $[\triangle ABD]$ 인데, 밑변 $\overline{AD}$ 도 높이도 모릅니다.

막힘

남은 조건은 "두 외접원의 반지름이 같다" 하나. 원을 그려도 길이로는 아무것도 안 보입니다.

$D$ 가 $AC$ 위라서 두 삼각형은 각 $A$ 를 공유합니다. 같은 $\theta$ 가 $\overline{BD}$ 와 $\overline{BC}$ 를 마주봅니다.

\angle BAD=\angle BAC=\theta

사인법칙은 각과 마주보는 변을 반지름으로 잇습니다. 반지름이 같으니 마주보는 변도 같습니다.

\overline{BC}=2R\sin\theta=\overline{BD}=\sqrt{10}

그럼 $BDC$ 는 이등변삼각형. 꼭짓점 $B$ 에서 내린 수선이 밑변 $DC$ 를 이등분합니다.

\overline{BM}\perp\overline{AC},\qquad\overline{MD}=\overline{MC}=1

수선 하나가 직각삼각형 둘을 만듭니다. 피타고라스 두 번.

\overline{BM}=\sqrt{10-1}=3,\qquad\overline{AM}=\sqrt{25-9}=4

점의 순서는 $A,D,M,C$ . 빼면 밑변, 곱하면 넓이.

\overline{AD}=4-1=3,\qquad[\triangle ABD]=\tfrac12\cdot3\cdot3=\tfrac92

다른 길

중점 없이 코사인법칙으로도 됩니다. $\angle ADB$ 는 $\angle BDC$ 의 보각이라 $\cos\angle ADB=-\tfrac1{\sqrt{10}}$ .

25=\overline{AD}^2+2\,\overline{AD}+10\ \Rightarrow\ \overline{AD}=3

$[\triangle ABD]$ $\tfrac92$ ③

두 외접원의 반지름이 같다는 조건은, 공통각에 사인법칙을 쓰면 길이 하나로 바뀐다.

다음 해설 밑변을 고정하면 최댓값이 보인다 계속 →