문제

$\overline{AB} = 5$인 삼각형 $ABC$의 변 $AC$ 위의 점 $D$에 대하여 $\overline{BD} = \sqrt{10}$, $\overline{CD} = 2$이다. 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름의 길이와 삼각형 $ABD$의 외접원의 반지름의 길이가 서로 같을 때, 삼각형 $ABD$의 넓이는?

① $\dfrac{7}{2}$ ② $4$ ③ $\dfrac{9}{2}$ ④ $5$ ⑤ $\dfrac{11}{2}$

이 문제에서 볼 것

이 문제에는 그림이 주어지지 않는다. 그래서 첫 일은 계산이 아니라 작도다 — 특히 눈에 보이지 않는 두 외접원을 그려 보는 것.

그림부터 세운다

이 문제에는 그림이 없다. 먼저 놓인 것만 그려 보자 — 삼각형 $ABC$, 변 $AC$ 위의 점 $D$, 그리고 $\overline{AB}=5$, $\overline{BD}=\sqrt{10}$, $\overline{CD}=2$.

구하는 것은 $[\triangle ABD]$인데, 밑변 $\overline{AD}$도 높이도 아직 모른다. 남은 조건은 "두 외접원의 반지름이 같다" 하나뿐이다.

두 삼각형이 공유하는 각

$D$가 선분 $AC$ 위에 있다는 조건이 여기서 일한다. 반직선 $AD$와 반직선 $AC$가 같으므로

같은 각 $\theta$가 삼각형 $ABD$에서는 $\overline{BD}$를, 삼각형 $ABC$에서는 $\overline{BC}$를 마주본다.

크기가 같은 두 원

두 외접원을 실제로 그려 보면, 조건은 그저 "이 두 원이 같은 크기다"라는 말이다. 사인법칙을 각각 $\theta$에 대해 쓰면

$R = R'$이므로 $\overline{BC} = \overline{BD} = \sqrt{10}$. 외접원 조건이 길이 하나로 바뀌었다.

이등변삼각형이 만드는 수선

이제 삼각형 $BDC$는 $\overline{BD}=\overline{BC}=\sqrt{10}$인 이등변삼각형이고, 밑변은 $\overline{DC}=2$다.

이등변삼각형의 꼭짓점에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 이등분한다. 그러니 $\overline{DC}$의 중점 $M$에 대해 $\overline{BM} \perp \overline{AC}$이고 $\overline{MD} = \overline{MC} = 1$.

직각삼각형 두 개

수선 하나가 직각삼각형 두 개를 만들었다. 피타고라스 정리를 두 번 쓴다.

$\overline{BM}$은 삼각형 $BMD$의 세로변이면서 동시에 삼각형 $ABM$의 세로변이다 — 한 선분이 두 삼각형을 잇는다.

빼면 밑변, 곱하면 넓이

점의 순서는 $A$, $D$, $M$, $C$다. 그래서

삼각형 $ABD$는 밑변 $\overline{AD}=3$, 높이 $\overline{BM}=3$이다.

중점을 쓰지 않는 길

$\overline{BC} = \overline{BD} = \sqrt{10}$까지 왔다면, 중점 $M$을 잡지 않고 곧바로 코사인법칙으로 갈 수도 있다. 이등변삼각형 $BDC$에서 $\cos(\angle BDC) = \tfrac{1}{\sqrt{10}}$이고, $\angle ADB$는 그 보각이므로

삼각형 $ABD$에 코사인법칙을 쓰면 모르는 것은 $\overline{AD}$ 하나뿐이다.

즉 $\overline{AD}^2 + 2\,\overline{AD} - 15 = 0$, 곧 $(\overline{AD}+5)(\overline{AD}-3) = 0$이므로 $\overline{AD} = 3$. 여기에 $\sin(\angle ADB) = \tfrac{3}{\sqrt{10}}$을 넣으면

답

중점을 쓰든 코사인법칙을 쓰든 갈림길은 그 뒤에 있다. 두 길이 만나는 지점은 하나 — 공통각 하나와 같은 반지름 하나가 $\overline{BC} = \overline{BD}$를 준 순간, 문제는 이미 평범한 삼각형 문제가 되어 있었다.