문제

실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f$의 역함수 $f^{-1}$이 다음 조건을 만족한다.

직선 $y=m(x-1)$과 $y=f(x)$의 교점 개수를 $g(m)$이라 하자. $g$가 $m=a,\ m=b\ (a<b)$에서 불연속일 때,

의 값을 구하여라. 단, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$이다.

발문부터 읽자: 필요한 것은 함수값이 아니라 개수 변화다

게다가 주어진 식은 전부 $f^{-1}$에 관한 것이다. 그러니 복잡한 $f$를 억지로 복원하지 말고, 역함수 $h$의 그래프에서 직선과의 교점을 세자. 그러면 개수가 바뀌는 순간은 한 점을 지나는 직선이 그래프에 접하는 순간으로 보인다.

증가한다는 말이 부호를 결정한다

$h=f^{-1}$라 두자. 제곱과 절댓값 때문에 생긴 ± 중에서 증가하는 가지 하나만 이어 붙이면 된다.

연결점은 $(-1,-2),(0,0),(1,2)$다. 이제 식보다 그래프 모양이 더 많은 정보를 준다.

교점을 역함수 평면으로 뒤집는다

원래 교점을 $(h(t),t)$라 쓰면 $t=m\{h(t)-1\}$이다. $m\ne0$일 때 $s=1/m$로 바꾸면

즉 $P=(0,1)$을 지나는 직선과 $h$의 교점 수를 세면 된다. $m=0$은 나눌 수 없으므로 따로 보면 $g(0)=1$이다.

오른쪽 교점 하나는 고정이다

오른쪽에서 점 $P$와 $(t,h(t))$를 잇는 기울기 $\dfrac{h(t)-1}{t}$는 $-\infty$에서 $\infty$까지 계속 증가한다. 실제로 $t\to\infty$일 때는 $e^{t-1}/t$이고, 주어진 $\ln t/t\to0$에서 이 값이 무한히 커짐을 알 수 있다.

따라서 모든 실수 기울기 $s$마다 오른쪽 교점은 늘 정확히 하나다. 왼쪽 기울기 $T(u)$는 양수이므로 $s\le0$에서는 추가 교점도 없다. 개수 변화는 $s>0$인 왼쪽 가지에서만 찾으면 된다.

왼쪽 두 교점이 한 점으로 합쳐지는 순간

앞에서 만든 $h$는 홀함수다. 왼쪽 좌표를 $t=-u\;(u>0)$로 놓으면 기울기는

기울기 $s$인 직선과 왼쪽 그래프의 교점 수는 방정식 $T(u)=s$의 해의 개수다. $T$가 한 번 내려갔다 올라온다면, 그 최솟값에서 두 교점이 하나로 합쳐진다.

그 최솟값이 왼쪽 교점이 0개에서 2개로 바뀌는 접선 경계다.

도함수는 최솟점이 하나라고 말한다

$0<u\le1$에서는 $T'(u)=-u-u^{-2}<0$이다. $u>1$에서는 $T'(u)=\{e^{u-1}(u-1)-2\}/u^2$이고, 분자가 계속 증가하므로 0이 되는 곳은 딱 하나다.

최솟점 $u=c$에서는 $e^{c-1}(c-1)=2$이다. 임계 기울기를 $s_0=T(c)$라 하면 이 조건 덕분에 $s_0=e^{c-1}$로 정리된다.

접점 $c$를 직접 구할 필요는 없다. 발문에 쓰일 것은 이 짧은 관계식이다.

다시 m으로 돌아오면 불연속점이 보인다

$s=1/m$이므로 양의 $m$에서는 순서가 뒤집힌다. $b=1/s_0$라 두면

따라서 두 불연속점은 $a=0$, $b=1/s_0$이다. 발문에 필요한 값까지 바로 읽으면

답

$b=1/s_0$이므로 $\ln b=-\ln s_0$이다. 접선에서 얻은 관계를 쓰면