문제

곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위의 점 $A(a,b)$와 곡선 $y=4^{x-1}-\tfrac12$ 위의 점 $B$가 제1사분면에 있다.

점 $A$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이 직선 $OB$ 위에 있고, 선분 $AB$의 중점이 $\left(\tfrac{77}{8},\tfrac{133}{8}\right)$일 때 $ab=\tfrac qp$이다. 서로소인 자연수 $p,q$에 대하여 $p+q$를 구하여라.

곡선 위의 점은 좌표부터 읽는다

$A(a,b)$라는 표시는 가로좌표가 $a$, 세로좌표가 $b$라는 뜻이다. 점이 로그곡선 위에 있으므로 식의 $x,y$ 자리에 그대로 넣는다.

지수·로그 문제의 첫 행동은 그래프를 막연히 보는 것이 아니라, 점의 위치를 좌표식으로 번역하는 것이다.

로그는 가능하면 지수로 바꾼다

로그는 “16을 몇 번 거듭제곱해야 $8a+2$가 되는가”를 묻는 기호다. 같은 내용을 지수식으로 바꾸면

이제 첫 곡선의 밑 $16$과 두 번째 곡선의 밑 $4$가 한눈에 비교된다. 좌표값을 계산하기 전에 이 관계부터 쓴다.

대칭은 좌표 두 칸을 바꾼다

$A=(a,b)$를 $y=x$에 대칭한 점을 $C$라 하자. 대칭은 가로와 세로의 자리를 맞바꾸므로

문제에서 $C$는 직선 $OB$ 위에 있다. 두 점 모두 제1사분면이므로 $C,B$는 같은 원점 반직선 위에 있고, $B=(kb,ka)\ (k>0)$로 쓸 수 있다. 아직 배율 $k$는 모른다.

지수함수는 x 한 칸에 높이가 4배다

두 번째 곡선을 $f(x)=4^{x-1}-\tfrac12$라 하자. 점근선 $y=-\tfrac12$에서 잰 높이는

밑이 4이므로 오른쪽으로 한 칸 갈 때 높이가 4배가 된다. 지수곡선에서는 가로 이동과 높이의 배율을 함께 읽는다.

16=4²가 ‘두 배’를 알려 준다

앞에서 얻은 $16^b=8a+2$에서 $16^b=4^{2b}$다. 두 번째 곡선의 가로좌표에 $2b$를 넣으면 같은 거듭제곱이 나타난다.

따라서 $D=(2b,2a)=2C$는 지수곡선 위의 점이다. 두 배는 추측이 아니라 두 밑 $16,4$의 관계에서 나온다.

점 하나가 아니라 곡선 전체가 겹친다

로그곡선 위의 아무 점을 $P=(s,t)$라 해도 $16^t=8s+2$이다. 같은 변환을 적용하면

모든 점이 지수곡선으로 옮겨진다. 그림의 초록 점선이 대칭된 로그곡선을 두 배 한 자취이고, 주황색 지수곡선과 정확히 포개진다.

이제 B와 2C가 같은 점인지 묻는다

$C$가 반직선 $OB$ 위에 있으므로 $2C$도 같은 반직선 위에 있다. 그리고 방금 $2C$가 지수곡선 위에 있음을 확인했다.

결국 $B$와 $2C$는 같은 반직선과 같은 지수곡선 위의 두 점이다. 이 반직선이 곡선을 한 번만 만난다면 두 점은 같을 수밖에 없다.

왜 교점은 하나뿐인가

반직선을 $y=mx$라 하고 두 그래프의 높이 차를 $F(x)=4^{x-1}-\tfrac12-mx$라 하자. 이 함수는 아래로 볼록하고 $F(0)=-\tfrac14<0$이다.

양의 영점이 $x_1<x_2$ 두 개라면, 아래로 볼록한 그래프는 $0$과 $x_2$를 잇는 선분보다 아래에 있으므로 $F(x_1)<0$이어야 한다. 하지만 영점이면 0이므로 모순이다.

중점은 좌표의 합을 준다

이제 중점 조건을 쓸 차례다. 중점이 $M=\left(\tfrac{77}{8},\tfrac{133}{8}\right)$이므로 두 끝점의 좌표 합은 그 두 배다.

$A=(a,b)$, $B=(2b,2a)$를 넣으면

두 좌표가 정해진다

두 식을 빼면 $a-b=14$. 이를 첫 식에 넣으면 $3b=\tfrac{21}{4}$이므로

그림의 모든 점이 한꺼번에 닫힌다: $C=\left(\tfrac74,\tfrac{63}{4}\right)$, $B=2C=\left(\tfrac72,\tfrac{63}{2}\right)$.

답

이 문제의 어려움은 로그와 지수를 계산하는 데 있지 않았다. 대칭한 곡선을 원점에서 두 배 하면 다른 곡선이 된다는 관계를 읽는 데 있었다.