Interactive Mathematics Notes
반지름 4인 부채꼴 OABOAB, cos⁡∠AOB=−14\cos\angle AOB=-\tfrac14, OP‾=2, OQ‾=3\overline{OP}=2,\ \overline{OQ}=3, 호 위의 RR · [△PRQ][\triangle PRQ]의 최댓값
PQ‾=4\overline{PQ}=4 [△PRQ]=2h[\triangle PRQ]=2h OR⊥PQ, h=4−dOR\perp PQ,\ h=4-d d=3158d=\tfrac{3\sqrt{15}}{8}
O A B ∠AOB 2 3 R h R 접선 ∥ PQ R d h = 4 − d OR = 4 R PQ = 4 P Q

중심이 OO, 반지름의 길이가 44인 부채꼴 OABOAB가 있다. cos⁡(∠AOB)=−14\cos(\angle AOB)=-\tfrac14이고, 선분 OAOA 위의 점 PP, 선분 OBOB 위의 점 QQ에 대하여 OP‾=2, OQ‾=3\overline{OP}=2,\ \overline{OQ}=3이다. 호 ABAB 위의 점 RR에 대하여 삼각형 PRQPRQ의 넓이의 최댓값은?

① 6−1526-\tfrac{\sqrt{15}}{2} ② 6−31546-\tfrac{3\sqrt{15}}{4} ③ 6−156-\sqrt{15} ④ 8−1528-\tfrac{\sqrt{15}}{2} ⑤ 8−31548-\tfrac{3\sqrt{15}}{4}

↓ 넘기며 보기

막힘

PP, QQ는 고정, 움직이는 건 RR 하나. 그런데 RR가 움직이면 두 변과 각이 모두 바뀌어 식이 엉킵니다.

하지만 밑변 PQPQ는 RR와 상관없이 굳어 있습니다. 삼각형 OPQOPQ에 코사인법칙.

PQ‾2=22+32−2⋅2⋅3⋅(−14)=16\overline{PQ}^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\bigl(-\tfrac14\bigr)=16

밑변이 4로 굳었으니 넓이는 높이 hh 하나의 문제. hh는 RR에서 직선 PQPQ까지의 거리.

[△PRQ]=12⋅4⋅h=2h[\triangle PRQ]=\tfrac12\cdot4\cdot h=2h

RR를 지나는 PQPQ의 평행선을 멀리 밀어 봅니다. 호에 접하는 순간이 가장 멉니다.

접선은 반지름과 수직이고 PQPQ와 평행. 그래서 OR⊥PQOR\perp PQ, 반지름 4가 두 토막으로 나뉩니다.

OR‾=d+h=4 ⇒ h=4−d\overline{OR}=d+h=4\ \Rightarrow\ h=4-d

dd는 OO에서 직선 PQPQ까지의 거리. 삼각형 OPQOPQ의 넓이에서 나옵니다.

[△OPQ]=12⋅2⋅3⋅154=3154,d=2[△OPQ]PQ‾=3158[\triangle OPQ]=\tfrac12\cdot2\cdot3\cdot\tfrac{\sqrt{15}}4=\tfrac{3\sqrt{15}}4,\qquad d=\frac{2[\triangle OPQ]}{\overline{PQ}}=\frac{3\sqrt{15}}8

이제 최댓값은 한 줄입니다.

2h=2(4−3158)=8−31542h=2\Bigl(4-\tfrac{3\sqrt{15}}8\Bigr)=8-\tfrac{3\sqrt{15}}4
다른 길

사각형 OPRQOPRQ의 대각선 PQPQ, OROR이 수직이니 넓이는 12⋅4⋅4=8\tfrac12\cdot4\cdot4=8. 빗금 친 OPQOPQ를 덜어내도 같습니다.

[△PRQ]=8−3154[\triangle PRQ]=8-\tfrac{3\sqrt{15}}4

8−31548-\tfrac{3\sqrt{15}}4 ⑤

움직이는 점이 하나면, 움직이지 않는 부분(밑변)부터 굳히고 남은 한 양만 최대로 만든다.

다음 해설 곡선의 넓이를 적분하지 않는 법 계속 →